ΛCDM-Modell

Das ΛCDM-Modell beschreibt auf Basis weniger Parameter die Entwicklung eines seit einem singulären Ereignis (dem Urknall) expandierenden Universums. Da die Resultate des entwickelten Formelwerks gut mit fast allen kosmologischen Beobachtungen übereinstimmen, wird das ΛCDM-Modell auch als Standardmodell der Kosmologie bezeichnet. Verschiedene dieser Gesetzmäßigkeiten werden durch Phänomene gedeutet, die weder beobachtet noch erklärt werden können. Das CDM (Cold Dark Matter) steht für Dunkle Materie, einer unsichtbaren, hypothetischen Form von Materie, die heute etwa 85 % der gesamten Materie im Universum ausmacht. Sie emittiert kein Licht und kann nicht beobachtet werden – ihre Existenz wird nur über ihre gravitativen Effekte erschlossen. Das Λ steht für Dunkle Energie, einer hypothetischen Form von Energie, die heute mehr als 2/3 der Materie-/Energie-Dichte des Universums ausmacht und die für die beschleunigte Expansion des Universums verantwortlich gemacht wird.

Das Universum des ΛCDM-Modells ist räumlich flach, d.h. die Winkelsumme von Dreiecken beträgt überall 180°. Diese Aussage wird durch die empirisch ermittelte Größe der kritischen Dichte erhärtet - siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteparameter. Für jeden festen Zeitpunkt kann der Raum durch euklidische Koordinaten umschrieben werden.

Massenbedingte Raumkrümmungen müssen oberhalb des von WELTTABELLEN behandelten theoretischen Modellansatzes untersucht werden. Das Universum ist flach, doch in der Umgebung großer Massen (Beispiel: näher gelegene Galaxien formen Gravitationslinsen für entferntere Galaxien in Sichtlinie) krümmt sich der Raum.

ΛCDM-Parametersatz

Das ΛCDM-Modell ist von verschiedenen Parametern abhängig. Die heute verlässlichsten Ergebnisse dieser Parameterfindungen entstammen zwei Weltraumteleskop-Missionen zur Vermessung der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung CMB: WMAP (NASA/USA, gestartet 2001) und Planck (ESA/Europa, gestartet 2009). Die Auswertungen dieser Missionen wurden mehrfach präzisiert und liegen als WMAP1, 3, 5, 7 und 9 und Planck13, 15 und 18 vor. Die wichtigsten Ergebnisse für das ΛCDM-Modell sind der heutige Wert des Hubble-Parameters sowie die heutigen Anteile von Strahlung, Materie und Dunkler Energie an der Materie-/ Energiedichte des Universums.

Planck18v4:  https://arxiv.org/abs/1807.06209     WMAP9v3: https://arxiv.org/abs/1212.5226 

Findet man im Internet sich scheinbar widersprechende Ergebnisse für verschiedene kosmologische Phänomene, so mag dies daran liegen, dass für Berechnungen unterschiedliche Parametersätze verwendet wurden. Gute Darstellungen sollten den zugrundeliegenden Parametersatz veröffentlichen.

Die wichtigsten Parameter des Parametersatzes Planck18 für den Zeitpunkt HEUTE sind

Hubble-Parameter H                                                                                 : 67.4 km/Mpc/s (Kilometer pro Megaparsec pro Sekunde)

                                                                                                    entspricht: 0.21842852E-17 1/s

Materie-Anteil Ω_M an der Materie/Energie-Dichte des Universums : 0.315

Strahlungsanteil Ω_R                                                                                   : 0.9209605429E-04

Anteil Dunkler Energie Ω_Λ                                                                                        : 0.6849079039

Nur H und Ω_M müssen tatsächlich vorgegeben werden. Ω_R lässt sich dann berechnen - siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Dichteparameter. Ist geklärt, dass das Universum räumlich flach ist, gilt Ω_Λ = 1 - Ω_M - Ω_R. Häufig wird den Symbolen H, Ω_M,  Ω_R, und  Ω_Λ noch ein Index 0 (NULL) angehängt, um anzudeuten, dass es sich um heutige Werte handelt. Die entsprechenden Werte für andere Zeitpunkte lassen sich über das ΛCDM-Formelwerk berechnen - siehe ebenfalls den Link zu den Dichteparametern.

Aus den Planck18-Parametern lassen sich die folgenden HEUTIGEN Größen ableiten:

Zeit seit dem Urknall                                                                              : 13.790687 Mrd. Jahre

Physikalische Entfernung des Beobachters zur Hubblesphäre      : 14.507303 Mrd. Lichtjahre

Physikalische Entfernung des Beobachters zum Ereignishorizont: 16.679351 Mrd. Lichtjahre

Physikalische  Entfernung des Beobachters zum Partikelhorizont: 46.132820 Mrd. Lichtjahre

Der kosmische Mikrowellenhintergrund CMB ist HEUTE gemäß Planck18 unter einer Rotverschiebung z=1090 SICHTBAR. Daraus lässt sich eine Emissionszeit von 371'127 Jahren nach dem Urknall berechnen.

Der HEUTE SICHTBARE kosmische Mikrowellenhintergrund war 371'127 Jahre nach dem Urknall 41.447549 Millionen Lichtjahre vom Beobachter entfernt.  Aufgrund der Expansion des Universums beträgt die Entfernung der emittierenden mitbewegten Objekte HEUTE 45.219275 Mrd. Lichtjahre vom Beobachter (Partikelhorizont mit Bezugszeitpunk CMB).

Hubble-Flow

Auf großen Skalen wird das seit dem Urknall ewig expandierende Universum als isotrop und homogen angenommen - falls erforderlich, die beiden Begriffe bitte im Internet über den Begriff Kosmologisches Prinzip ergründen. Der lediglich durch expansionsbedingte Abstandsänderungen charakterisierte Raum wird auch als Hubble-Flow bezeichnet. Die anwachsenden Abstände zwischen im Hubble-Flow (manchmal eingedeutscht Hubble-Fluss) treibenden, als ruhend angenommenen oder synonym (mit dem Hubble-Flow) mitbewegten Objekten können durch einen Skalenfaktor a(t) beschrieben werden, der allein von der Zeit t seit dem Urknall abhängt.

Ruhendes oder synonym mitbewegtes Objekt

Ruhende oder synonym mitbewegte Objekte treiben ohne Eigenbewegung im Hubble-Flow. Sie entfernen sich allein durch den Hubble-Flow voneinander und vom  Beobachter.

Galaxien werden im Weiteren als mitbewegte Objekte modelliert. Anders als die als ruhend angenommenen Objekte sind die Galaxien jedoch in gravitativ bedingte Bewegungen eingebunden. Diese Pekuliarbewegungen werden durch die hier zugrundeliegende Theorie nicht abgebildet. Je länger das Licht benötigt hat, den heutigen Ort des Beobachters in der Milchstraße zu erreichen, desto geringer sind im Durchschnitt die durch Pekuliarbewegungen bedingten relativen Fehler. Gravitativ versursachte Bewegungen müssen oberhalb der hier zugrundeliegenden Theorie untersucht werden.

Galaxien senden Photonen (oder einfach Licht) in Richtung auf den Beobachter aus.

BEOBACHTER

Der Beobachter treibt seit dem Urknall und für alle zukünftigen Zeiten im Hubble-Flow. 

Der Beobachter selbst unterscheidet sich von einem ruhenden Objekt nur dadurch, dass er lediglich mit Lichtgeschwindigkeit übermittelte Photonen empfängt, während die mitbewegten Objekte (i.a. Galaxien) diese Photonen (auch) emittieren.

Der heutige Ort des Beobachters ist in der Milchstraße (hier bei uns) gelegen. Durch diese Festlegung werden zum ersten Mal Ort und Zeit einer  kosmologischen Instanz definiert. Wir stellen den Beobachter ins Zentrum unserer theoretischen Überlegungen und betrachten als willkürliche Festlegung das Universum für alle Zeiten vom Ort des Beobachters aus. Alle mitbewegten Objekte entfernen sich mit dem Hubble-Flow vom Beobachter. Nur von den mibewegten Objekten emittierte, auf den Beobachter gerichtete  (bewegliche) Photonen erreichen (eventuell) den Beobachter. 

Die von WELTTABELLEN veröffentlichten Dokumente kennen nur diesen einen Beobachter. Es sei aber darauf hingewiesen, dass verschiedene Autoren den Begriff weiter definieren und verschiedene theoretische Aussagen, für die wir mitbewegte Objekte verwenden, auch über den Begriff des Beobachters herleiten.

Der Beobachter wird übrigens allein aus Verständnisgründen (was machen wir hier überhaupt?) zu uns in die Milchstraße verlegt. Alle hergeleiteten Formeln und alle Ergebnisse sind unabhängig vom Ort des Beobachters.

Koordinatensysteme, zugrundeliegende Metrik

Koordinatensysteme für die Raumzeit des Universums bestehen aus 3 Raumachsen und einer Zeitachse.  Basis für die Entwicklung des durch die Koordinaten abgebildeten expandierenden Universums ist dabei die Friedmann-Gleichung, zeitlicher Verlauf und Abstände sind durch die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik (FLRW-Metrik) umschrieben. Wer interessiert ist, kann Details für diese Begriffe ohne Schwierigkeiten im Internet finden.

Anders als für die Zeitachse gibt es für die Raumachsen kein natürliches Maß. Entfernungen zwischen Objekten zu konstanter gemeinsamer Zeit existieren, sind jedoch nicht messbar. Vielmehr müssen diese Distanzen über die kosmologische Theorie erschlossen werden.  Die mitbewegte Distanz (englisch: comovíng distance) zwischen Objekten, die im Hubble-Flow treiben, ändert sich trotz der Expansion des Universums nie. Im Gegensatz dazu spiegeln physikalische Koordinaten die mit der Expansion des Universums anwachsenden Entfernungen als physikalische Distanz  (englisch: proper distance, deutsch auch: Eigendistanz) zwischen ruhenden Objekten wider. Die physikalische Distanz ist jener Abstandsbegriff, der am ehesten mit alltäglichen Abstandsvorstellungen übereinstimmt. Aufgrund von Isotropie und Homogenität des Universums kann der räumliche Ursprung des Koordinatensystems im Prinzip an einem beliebigen Ort des Universums angesetzt werden. Diesen Umstand nutzen wir dahingehend aus, dass wir unseren Beobachter in den Ursprung des räumlichen Koordinatensystems legen.

Der mitbewegte Abstand eines mitbewegten Objekts vom Beobachter wird normiert durch die heutige physikalische Entfernung vom Beobachter, also die Entfernung bei a=1. Hat ein mitbewegtes Objekt (z.B. eine Galaxie)  zu einem Zeitpunkt t eine physikalische Entfernung d(t) vom Beobachter, so gilt d(t)=a(t)*D(t), wobei D(t) die mitbewegte Entfernung ist. Meistens betrachten wir Galaxien, die auf einem Lichtkegel glegen sind, die Beziehung d(t)=a(t)*D(t) gilt allerdings unabhängig von Lichtkegeln.

Zwischenbemerkung: Die Begriffe mitbewegter Abstand und mitbewegtes Objekt sollten als voneinander unabhängige Begriffe betrachtet werden. Selbstverständlich gibt es einen physikalischen Abstand zwischen mitbewegten Objekten. Um Verwechslungen zu vermeiden, ist es manchmal besser, den Begriff ruhendes Objekt zu verwenden.

Ist man an einem speziellen Objekt wie z.B. einer Galaxie, deren Abstandsänderungen zum Beobachter sowie an der Geodäte von auf den Beobachter gerichteten, von dieser Galaxie emittierten Photonen interessiert, so spricht nichts dagegen, das räumliche Koordinatensystem mit seinen drei Koordinatenachsen so zu positionieren, dass die Galaxie auf der positiven Halbachse jener Koordinatenachse gelegen ist, die man in der Mathematik üblicherweise als x‑Achse bezeichnet. Diese Koordinatenachse kann dadurch gekennzeichnet werden, dass für auf der Achse gelegene Objekte die zweite und dritte Koordinate jeweils mit NULL besetzt sind. Ist die Galaxie auf einer Kugeloberfläche mit dem Beobachter im Zentrum gelegen, so ist die radiale erste Koordinate gleich dem Radius der Kugel und zugleich der (physikalische) Abstand der Galaxie zum Beobachter.

Da Kugelradius und radiale Koordinate übereinstimmen, wollen wir diese Koordinatenachse als radiale Koordinatenachse bezeichnen. Für Fragen der Kosmologie, bei denen keine Raumwinkel beachtet werden müssen, kann man Berechnungen auf diese Achse beschränken und mit nur reellen Werten rechnen. Die Galaxie entfernt sich aufgrund der Expansion des Universums auf dieser Achse vom im Ursprung des räumlichen Koordinatensystems gelegenen Beobachter. Ein von dieser Galaxie emittiertes, auf den Beobachter gerichtetes Photon strebt auf dieser Achse auf den Beobachter zu und geht, sofern es diesen erreicht, anschließend auf den negativen Bereich der Achse über.

Das hier geschilderte Prinzip wird insbesondere für Zeichnungen in der Kosmologie breit angewandt, der Begriff radiale Koordinatenachse wird jedoch nur von WELTTABELLEN verwendet.

Weltlinie

Unter einer Weltlinie wird die Trajektorie (oder auch die Flugbahn, der Pfad, die Raumkurve) eines massebehafteten (mitbewegten) Objekts oder eines masselosen Teilchens (z.B. eines Photons) in der Raumzeit verstanden.

Siehe z.B.: https://de.wikipedia.org/wiki/Weltlinie#Kosmologie 

Da wir den Beobachter in den Ursprung des räumlichen Koordinatensystems gelegt hatten und stets den Abstand von Objekten vom Beobachter betrachten, ist die Weltlinie des Beobachers jene, bei der für jeden Zeitpunkt t der Abstand zu Objekten 0 (NULL)  beträgt.

Irgendwo - warum nicht hier? - wollen wir noch die Frage beantworten, warum wir von der Weltlinie des Beobachters und nicht von der Weltlinie der Milchstraße sprechen. Grund ist, dass die Milchstraße in Vergangenheit und Zukunft in die gravitativen Bewegungen der sie umgegebenden Strukturen von Galaxienhaufen eingebunden ist. Diese Bewegungen überlagern den Hubble-Flow, der gemäß Theorie allein für die sich vergrößernden Entfernungen zu mitbewegten Objekten verantwortlich ist. In der weit zurückliegenden Vergangenheit wie auch in der fernen Zukunft war und ist der Beobachter wohl nicht mehr in der Milchstraße gelegen.

Häufigste Form von Zeichnungen

Die meisten Zeichnungen, die auf der WELTTABELLEN-Website oder zugehörigen Dokumenten des Autors aufgeführt sind, enthalten 2 Koordinatenachsen: eine senkrechte Zeitachse in Mrd. Jahren und eine waagerechte Abstandsachse für physikalische oder mitbewegte Distanzen in Mrd. Lichtjahren. Dargestellt werden in diesem Zeichnungstyp neben Horizonten und anderen kosmologischen Konstrukten (Hubblesphäre)  die Weltlinien von Galaxien und (als Lichtkegel) von diesen Galaxien auf den Beobachter gerichteten Photonen.

Die waagerechte Achse ist dabei die radiale Koordinatenachse, auf der sich mitbewegte Objekte aufgrund der Expansion des Universums von Beobachter entfernen und auf der sich Photonen auf den Beobachter zubewegen.

Eine senkrechte Achse oberhalb des Nullabstands der waagerechten Achse ist die Weltlinie des Beobachters. Meistens ist dies die senkrechte Koordinatenachse.

Zeit (t) und Skalenfaktor (a)

Die anwachsenden Abstände zwischen im Hubble-Flow treibenden, als ruhend angenommenen oder synonym (mit dem Hubble-Flow) mitbewegten Objekten können durch einen Skalenfaktor a(t) beschrieben werden, der allein von der Zeit t seit dem Urknall abhängt. Der heutige Skalenfaktor ist mit a(HEUTE)=1 festgelegt. Zeit und Skalenfaktor sind bijektiv aufeinander abbildbar. Die Zeit t(a) kann (als Integral) numerisch aus dem Skalenfaktor berechnet werden. Die Umkehrfunktion a(t) erfordert mehr Rechenaufwand. Z.B. ist a(t) für ein vorgegebenes t* als Nullstelle von t(a)-t* herleitbar.

Beispiel (Planck18):                                                                                                           Mrd. Jahre nach dem Urknall

a=0.5 (Abstände mitbewegter Objekte sind halb so groß im Vergleich zu a=1)   : t=5.8407420

a=1                                                                                                                                     : t=13.790687 (HEUTE)

a=2 (Abstände mitbewegter Objekte verdoppeln sich im Vergleich zu a=1)         : t=24.947821

a=10 (Abstände mitbewegter Objekte verzehnfachen sich im Vergleich zu a=1) : t=52.997407

Rotverschiebung (z)

Unter Rotverschiebung versteht man in der Kosmologie die Lageveränderung in Richtung der größeren Wellenlängen von Spektrallinien im Absorptionsspektrum empfangenen Lichts, das von Galaxien emittiert wurde, die sich aufgrund der Expansion des Universums vom Beobachter entfernen. Das Thema ist im Internet mit geeigneten Zeichnungen und unter Darstellung der Ermittlung der Rotverschiebungswerte z in breiter Form dargestellt und soll hier nicht erneut ausgebreitet werden.

Die Rotverschiebung z ist direkt mit dem Skalenfaktor a(t) verbunden. Empfängt der Beobachter zu einem Zeitpunkt t₀ Licht von einer Galaxie, das zum Zeitpunkt t_e emittiert wurde, so gilt die Beziehung 1+z=a(t₀)/a(t_e).

WELTTABELLEN weist a, z und t stets nebeneinander aus. z* bezeichnet dabei die Rotverschiebung bei a(t₀)=1.